Willkommen!
Hotwire: Hier kannst du ein Zimmer für 4 Personen buchen (Hotrates), nicht vergessen, das auch so einzugeben.
Priceline: Hier buchst du für 2 Personen!!! Bei wenigen Express-Deals-Angeboten kannst du wählen, dass du 2 Betten möchtest, das sind aber dann 2x doble (ca 1,2 breit) oder 2x queen (ca 1,6 breit) Und im Gegensatz zum Rest von den USA darfst du in den USA nicht davon ausgehen, dass die Zimmer so groß sind, dass man 2 Kids einfach mit unterbringt in einem normalen Zimmer
Gerade in Manhattan sind manche Zimmer kaum breiter als das Bett drin
ad 1) Langfristig gebucht kann es sehr günstig sein, vor allem bei "herkömmlichem" buchen, nicht Blind-Booking. Außerdem kannst du ja alles buchen, solange es kostenlos stornierbar bleibt, zb bei booking com und umbuchen wenn es ein besseres Angebot gibt.
August ist wegen der Hitze in der Stadt keine optimale Reisezeit, also könntest du auch kurzfristig erfolgreich sein. Aber die Glaskugel ist leider beschlagen

ad 2) Frühstück und WLAN ist meist in den 2-3* Hotels dabei, in den Cityhotels nicht. Aber beides gibt's an jeder Ecke in der Stadt. Einen Shuttle braucht ihr nicht vom Hotel (kenne auch keine Angebote dafür), da es so viele Möglichkeiten gibt, vom Flughafen in die Stadt zu kommen. Für Taxis gibt es einen Fixpreis, das ist bei euch bei 4 Personen sicher die beste Wahl.
Das inklusive-Frühstück in den Hotels ist meist sehr einfach. Bagles, Muffins, .... keine Deutschland-Schinken-Käse-Brot-Buffets

wo man sich für den Tag satt isst.
ad 3) 150 ist ein sehr knappes Budget für Manhattan, Taxes und Fees wirst du in den ganzen USA erleben

Orientiere dich lieber am Endpreis und wenn der ok ist, schlage zu.
ad 4) Long Island City, Queens, ist die perfekte Location für das Wohnen außerhalb. Wenn du ein Hotel wählst, das direkt an der Subway liegt (zB LIC Hotel, Comfort Inn LIC, Country Inn and Suites LIC, .....), bist du in 10 Minuten ohne Umsteigen in Midtown (da brauchst du sogar länger, wenn du in Manhattan Downtown wohnst!) und damit sehr zentral an allem touristisch Interessantem.
Außerdem liegt JFK auch in Queens, du sparst also auch an der Transferzeit. Und da die Hotels dort sich von denen in Manhattan etwas angrenzen wollen, bieten sie auch mehr als Cityhotels, meist etwas größere Zimmer, Frühstück(chen)....
Ich habe schon oft dort gewohnt und finde es auch für 3 Tage ideal.
Und du kannst die Metro Card nutzen.
Die Wochenkarte rechnet sich glaub ich nach ca. 10 Fahrten, also ist es auch oft schon bei 3 Tagen ein Vorteil die Wochenkarte zu nehmen.
kinder bis zu einer gewissen Größe zahlen gar nichts, sonst hast du keine Ermäßigung.
Wenn du Einzelfahrten nimmst, kannst du eine pay-per-go MetroCard für euch alle 4 nehmen und immer 4x durchziehen. Auf den aufgebuchten Betrag gibt's dann ein paar Prozente.
Tipp vorab: Apartmentvermietungen, für Familien ideal, sind in NYC nur unter ganz bestimmten Umständen legal, bei den vielen Angeboten kannst du als Ausländer nicht abschätzen, ob es das Apartment wirklich noch gibt, wenn du dann vor Ort bist. hat schon einige Urlauber schlimm getroffen. Empfehlungen dafür wirst du deshalb hier im Forum nicht bekommen, wir sind nicht haftbar hier

Für das Sightseeing Programm empfehle ich das Lesen von Reiseberichten hier, da kannst du dir die aktuellsten Tipps holen.